Question

【题目】已知函数为自然对数的底数) .

（1）若在处的取得极值为1，求及的值；

（2）时，讨论函数的极值；

（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时，函数无极值；当，函数有极小值， 无极大值；（3）1.

【解析】

（1）根据，可求及的值；

（2）求出，对进行分类讨论，求函数的极值；

（3）令，直线与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解.由零点存在定理可得的取值范围，从而求得的最大值.

（1）由，得.

由题意得，，即，

解得，.经检验，符合题意.

，.

（2），

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.

②当时，令，得，

.

所以在上单调递减， 在 上单调递增，

故在处取得极小值， 且极小值为，无极大值.

综上，当时，函数无极值；

当，函数有极小值， 无极大值.

（3）当时，.

令，

则直线与曲线没有公共点，

等价于方程在上没有实数解.

当时，，

又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故.

又时，，此时方程在上没有实数解.，

所以，的最大值为1.