[题目]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示.水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和．单位:亿立方米)都在40以上.其中.不足80的年份有10年.不低于80且不超过120的年份有35年.超过120的年份有5年.如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率.假设各年的年入流量相互独立� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（，）

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年流入量
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

【答案】（1）；（2）2台.

【解析】

（1）求出，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．

（2）记水电站的总利润为（单位，万元），求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机时的分布列和数学期望，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机的台数．

解：（1）依题意，，

，

由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：

．

（2）记水电站的总利润为Y（单位，万元）

安装1台发电机的情形：

由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，，

安装2台发电机的情形：

依题意，当时，一台发电机运行，此时，

因此，

当时，两台发电机运行，此时，因此，，

由此得Y的分布列如下

Y	3400	8000
P	0.2	0.8

所以．

安装3台发电机的情形：

依题意，当时，一台发电机运行，此时，

因此，

当时，两台发电机运行，此时，因此，，

当时，三台发电机运行，此时，因此，，

由此得Y的分布列如下

Y	2800	7400	12000
P	0.2	0.7	0.1

所以．

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

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