Question

若， (为常数).函数定义为：对每个给定的实数，

（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；

（Ⅱ）设为两实数，满足，且,若，

求证：函数在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．

Answer 1

本小题主要考查函数的概念、性质、图象以及命题之间的关系等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.

解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于

（对所有实数）这又等价于，即

对所有实数均成立.        （*）

  由于，故其最大值为，

  故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件。

（2）分两种情形讨论

     （i）当时，由（1）知（对所有实数），

则由及易知，

再由的单调性可知，

函数在区间上的单调增区间的长度

为（参见示意图1）

（ii）时，不妨设，则，于是

   当时，有，从而；

当时，有

从而  ；

当时，，及，由方程

      解得图象交点的横坐标为

                          ⑴显然，

这表明在与之间。由⑴易知

 

综上可知，在区间上，   （参见示意图2）

故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。