Question

求证：当f（x）=ax²+bx+c（a≠0）时，方程ax²+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x∈R使得a•f（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：结合二次函数和二次方程的特点，从必要性和充分性两方面来证即可．
解答：证明：必要性：设方程ax²+bx+c=0有不等实根x₁＜x₂，
根据韦达定理有，，
取x==，代入函数解析式可得
f（x）==，
因为方程有两个实根，所以b²-4ac＞0，
所以a•f（x）=＜0成立；
充分性：如果存在x使得a•f（x）＜0，即a²x²+abx+ac＜0在x=x处成立，
因为a²＞0，根据二次函数特点，x=处，a²x²+abx+ac 取得最小值，
为f（）=ac-，既然它是最小值，那么f（）≤f（x）＜0，
所以ac-＜0，即b²-4ac＞0，故原方程必然有2个不等实根；
综上可得：方程ax²+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x∈R使得a•f（x）＜0．
点评：本题考查充要条件的证明，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．