Question

如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米（a与b均不小于2米），且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米．
（Ⅰ）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；
（Ⅱ）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．

Answer 1

分析：（I）利用面积，确定a，b的关系，可得a的范围，进而可表示出草坪的面积S（a）；
（II）利用基本不等式，可求最值．

解答：解：（Ⅰ）由条件知，ab=8，  ∴b=

8

a

…（1分）
∵b≥2，∴

8

a

≥2，∴2≤a≤4…（3分）
∴S（a）=（32-2a）（18-b）
即：S(a)=-4(9a+

64

a

)+592（2≤a≤4）…（6分）
（Ⅱ）∵9a+

64

a

≥2

9a• 64 a

≥48…（9分）
当9a=

64

a

，即a=

8

3

时，上式取“=”号，则S（a）≤-4×48+592=400
即a=

8

3

时，S（a）取得最大值，最大值为400．…（11分）
答：当人行道的宽度a、b分别为

8

3

米和3米时，草坪的面积达到最大，最大面积是400平方米   …（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．