Question

【题目】已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意，由抛物线性质可求焦点坐标和点坐标，结合椭圆定义，可求，计算即可求解；

（2）设，讨论直线与轴是否垂直，再根据直线与椭圆方程联立方程组法，结合韦达定理，计算，即可证明.

（1）抛物线的焦点为，

，∴，

∴，∴，

又，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴椭圆的方程是：；

（2）设

当直线与轴垂直时，易得：或，

又，∴，或者，

∴，∴

当直线与不垂直时，设直线的方程为：，

联方程组，消去整理得：，

所以：，

又共线，

∴，得，同理：，

∴，

∴

又因为

∴，则

综上，为定值.