Question

已知A、B分别为曲线C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连接AP与曲线C交于点M．
（1）若曲线C为圆，M为圆弧

AB

的三等分点，试求点P的坐标；
（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求a的值．

Answer 1

分析：（1）若曲线C为圆，根据M为圆弧

AB

的三等分点，可求出M点坐标，则直线AM方程就可求出，在与x=1联立，就可求出P点坐标．
（2）先设出M（x₀，y₀），可求出直线AM方程，再于直线x=a联立，即可得P点坐标，进而求出直线OP，BM方程，因为N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，且O、N、P三点共线可得OP⊥BM，得到两直线斜率的关系，即可解出a的值．

解答：解：（1）当曲线C为圆时，a=1．
由M为圆弧

AB

的三等分点，知∠BOM=60°或120°
当∠BOM=60°时，在△PAB中，∠PAB=60°，AB=2，PB=ABtan30°=

2 3

3

∴P（1，±

2 3

3

）
同理，当∠BOM=120°时，P（1，± 2

3

）
（2）∵A（-a，0），B（a，0），设M（x₀，y₀）
则l_AM：y=

y0

x0+a

（x+a），∴P（a，

2ay0

x0+a

）
l_OP：y=

2y0

x0+a

x，l_BM=

y0

x0-a

（x-a）
∵O、N、P三点共线且N是以BP为直径的圆与线段BM的交点．∴OP⊥BM
∴k_OP•k_BM=-1
即

2y0

x0+a

y0

x0-a

=-1，得，2y₀²=a²-x₀²，即

x02

a2

+

2y02

a2

=1①
又∵点M在曲线C上，∴

x02

a2

+y02=1②
由①②解得a=

2

点评：本题考查了直线与圆，与椭圆的位置关系，做题时应细心，避免答错．