Question

【题目】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，
AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥AB，AC⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB平面PAB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴EO∥PB，
又PB不包含于平面AEC，EO平面AEC，
∴PB∥平面AEC．

【解析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．
（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．