Question

【题目】设函数．

（1）若，，求函数的极值；

（2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（即用表示），并确定的单调区间；（提示：应注意对的取值范围进行讨论）

（3）在（2）的条件下，设，函数，若存在使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2），见解析； （3）.

【解析】

（1）求出导函数的根，判断根左右两边导函数的符号，得到函数的单调性，据极大值极小值的定义求出极值；（2）据极值点处的导函数值为0得到a，b的关系；代入导函数中求出导函数的两根，讨论两根的大小；判断根左右两边导函数的符号，据导函数与单调性的关系求出单调区间；（3）据函数的单调性求出两个函数的值域，求出函数值的最小距离，最小距离小于1求出a的范围

（1）∵

当，时，则

令得，∵∴，解得，

∵当时，，当时，当时

∴当时，函数有极大值，，

当时，函数有极小值，．

（2）由（1）知

∵是函数的一个极值点

∴，即，解得，

则

令，得或

∵是极值点，∴，即

当即时，由得或

由得

当即时，由得或

由得

综上可知：当时，单调递增区间为和，递减区间为

当时，单调递增区间为和，递减区间为

（3）由（2）知，当时，在区间上的单调递减，在区间上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为

又∵，，

∴函数在区间上的值域是，即

又在区间上是增函数，

且它在区间上的值域是

∵，

∴存在使得

成立只须仅须．