Question

【题目】设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ）
A.[ ，2）
B.[ ，2]
C.[ ，1）
D.[ ，1]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），
即 = =f（1）= ，
∴数列{an}是以 为首项，以 为等比的等比数列，
∴an=f（n）=（ ）n ，
∴Sn= =1﹣（ ）n∈[ ，1）．
故选C．
根据f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{an}是以 为首项，以 为等比的等比数列，进而可以求得Sn ， 进而Sn的取值范围．