Question

（2013•四川）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点P(

4

3

，

1

3

)．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

2

|AQ|2

=

1

|AM|2

+

1

|AN|2

，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；
（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出

2

|AQ|2

=

1

|AM|2

+

1

|AN|2

，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点P(

4

3

，

1

3

)．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂=

( 4 3 +1)2+ 1 9

+

( 4 3 -1)2+ 1 9

=2

2

，即a=

2

∴椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

=

2

2

…4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，-1）两点，此时点Q的坐标为（0，2-

3 5

5

）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），则
|AM|2=(1+k2)x1 2，|AN|2=(1+k2)x2 2，又|AQ|²=（1+k²）x²，

2

|AQ|2

=

1

|AM|2

+

1

|AN|2

∴

2

(1+k2)x2

=

1

(1+k2)x1 2

+

1

(1+k2)x2 2

，即

2

x2

=

1

x1 2

+

1

x2 2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1 2x2 2

…①
将y=kx+2代入

x2

2

+y2=1中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，得k²＞

3

2

由②知x₁+x₂=-

8k

2k2+1

，x₁x₂=

6

2k2+1

，代入①中化简得x²=

18

10k2-3

…③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=

y-2

x

，代入③中并化简得10（y-2）²-3x²=18
由③及k²＞

3

2

可知0＜x²＜

3

2

，即x∈（-

6

2

，0）∪（0，

6

2

）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1，
又由10（y-2）²-3x²=18得（y-2）²∈[

9

5

，

9

4

）且-1≤y≤1，则y∈（

1

2

，2-

3 5

5

）
所以，点Q的轨迹方程为10（y-2）²-3x²=18，其中x∈（-

6

2

，

6

2

），y∈（

1

2

，2-

3 5

5

）…13分

点评：本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分．