Question

【题目】已知曲线（为参数），曲线，将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线.

（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；

（2）若点为曲线上的任意一点，为曲线上的任意一点，求线段的最小值，并求此时的的坐标；

（3）过（2）中求出的点做一直线，交曲线于两点，求面积的最大值（为直角坐标系的坐标原点），并求出此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）曲线：，曲线：；（2）最小值为，此时；（3）最大值为，此时.

【解析】

（1）通过变换求出曲线的参数方程然后化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系，求解曲线的直角坐标方程；（2）由题意线段的最小值，转为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可求此时的P的坐标．（3）写出三角形的面积公式即可得到最大值，并得到圆心O到直线l的距离，设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离公式进行计算即可得到答案.

（1）曲线（为参数），将的横坐标伸长为原来的2倍，

纵坐标缩短为原来的得到曲线，化为普通方程为，

曲线，即，

可得直角坐标方程为.

(2)设，则线段的最小值为点P到直线的距离．

转为圆心到直线的距离减去半径，，

直线的斜率为-1，所以直线PQ的斜率为1，直线PQ方程为y=x,

联立解得Q(1,1).

(3)由题意可得，

当，即时取到面积的最大值，

此时可知圆心O到直线l的距离为，

由题意可得直线l的斜率肯定存在并设为k,

则直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,

圆心到直线l的距离,解得,

所以直线l的方程为：