Question

椭圆

x2

6

+

y2

3

=1中，F₁、F₂为左、右焦点，A为短轴一端点，弦AB过左焦点F₁，则△ABF₂的面积为（　　）

• A．3
• B．

  3 3

  2

• C．4

  3

• D．4

Answer 1

分析：先判断△AOF₁是等腰直角三角形，△AOF₂也是等腰直角三角形，从而△F₁AF₂也是等腰直角三角形，故可得∠BAF₂=90°，设|BF₁|=x，根据椭圆定义，x+|BF₂|=2a=2

6

，利用勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，可求得x=

6

3

，从而可求△ABF₂的面积．

解答：解：由题意，a=

6

，b=

3

，c=

3

，|OA|=|OF₁|=

3

，
∴△AOF₁是等腰直角三角形，同理△AOF₂也是等腰直角三角形，
∴△F₁AF₂也是等腰直角三角形，
∴|F₁A|=|F₂A|=

6

，
∴∠BAF₂=90°，
设|BF₁|=x，根据椭圆定义，x+|BF₂|=2a=2

6

．
根据勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，
（

6

+x）²+（

6

）²=（2

6

-x）²，
∴x=

6

3

，
∴S_△ABF2=

1

2

|AB|×|AF₂|=

1

2

（

6

+

6

3

）×

6

=4．
故选D．

点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆焦点三角形的面积，解题的关键是求出判断出∠BAF₂=90°．