Question

在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-

1

4

，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y  ）由题意可得，KPA•KPB=

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，y≠0，整理可得点P得轨迹方程
（2）设过点D（0，2）得直线方程为y=kx+2
联立方程

y=kx+2 x2+4y2=4

整理可得（1+4k²）x²+16kx+12=0，设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
则△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0可得k2≥

3

4

，x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

（*）
由

DM

=λ

DN

可得，x₁=λx₂代入到（*）式整理可得

(1+λ)2

λ

=

64k2

3(1+4 k2)

=

64

3(4+ 1 k2 )

从而可求

解答：解：（1）设P（x，y  0，由题意可得，KPA•KPB=

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，y≠0
整理可得点P得轨迹方程为

x2

4

+y2=1（y≠0）
（2）设过点D（0，2）得直线方程为y=kx+2
联立方程

y=kx+2 x2+4y2=4

整理可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
则△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0?k2≥

3

4

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

且

DM

=λ

DN

设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
则△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0?k2≥

3

4

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

（*）
由

DM

=λ

DN

可得，x₁=λx₂代入到（*）式整理可得

(1+λ)2

λ

=

64k2

3(1+4 k2)

=

64

3(4+ 1 k2 )

k2≥

3

4

可得4≤

(1+λ)2

λ

≤

16

3

，解可得

1

3

≤λ≤3且λ≠1
又因为直线MN过点（2，0），（-2，0），时λ= 

5

3

或λ=

3

5

所以可得，

1

3

≤λ≤3且λ≠1，λ≠

3

5

，λ≠  

5

3

点评：本题主要考查了曲线方程的求解，直线与曲线方程得相交关系的应用，解题得关键是根据已知转化k与λ之间得关系，解（1）时容易漏掉y≠0得限制条件．