Question

已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，解得．
故所求椭圆方程为；
（Ⅱ） 设直线l的方程为，则m≠0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得，
由△=2m²-4（m²-2）=2（4-m²）＞0，可得0＜m²＜4①．
由①，得，
故．
又点A到BC的距离为，
故
=，
当且仅当m²=4-m²，即m=时取等号，满足①式．
所以△ABC面积的最大值为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的用法，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属难题．