Question

（本小题满分13分）设圆C满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为5∶1．在满足条件（1）．（2）的所有圆中，求圆心到直线：3－4=0的距离最小的圆的方程．

 

Answer 1

【答案】

（x－）2＋（y－）2＝4或（x＋）2＋（y＋2＝4

【解析】解：设所求圆的圆心为P（，），半径为，则P到轴． 轴的距离分别为||．||．

由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为60°……2分，圆P截轴所得弦长为，故  32＝42，

又圆P截轴所得弦长为2，所以有r2＝2＋1，…………5分

从而有42－32＝3

又点P（，）到直线3－4=0距离为＝，…………7分

所以252＝|3－4|2＝92＋162－24≥92＋162－12（2＋2）…10分

＝4b2－32＝3

当且仅当=时上式等号成立，此时252＝3，从而取得最小值，

由此有  ，解方程得或 ………12分

由于32＝42，知＝2，于是所求圆的方程为

（x－）2＋（y－）2＝4或（x＋）2＋（y＋2＝4………．13分