Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．
(1)求椭圆的方程；
(2)当的面积时，求直线PQ的方程；
(3)求的范围．

Answer 1

（1）；（2）或；（3）（2,6）

试题分析：（1）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出和，则利用弦长公式可表示出|PQ|，进而可表示出的面积方程可得．
（3）利用向量的坐标运算，建立函数关系式，利用椭圆的范围找到定义域，利用二次函数即可求范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知
∴                            2分
∴ 椭圆方程为．                         4分
（2）解法一: 椭圆右焦点． 设直线方程为（∈R）．  5分
由   得．①              6分
显然，方程①的．设，则有．                            8分
由的面积==
解得：．
∴直线PQ 方程为，即或．       10分
解法二： 
．                        6分
点A到直线PQ的距离                   8分
由的面积= 解得．
∴直线PQ 方程为，即或．       10分
解法三： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．   5分
当直线的斜率存在时，设直线方程为，           
由 得．  ①        6分
显然，方程①的．
设，则．         7分

=．                    8分
点A到直线PQ的距离                   9分
由的面积=   解得．
∴直线的方程为，即或．       10分
（3）设P的坐标（则 ∴
故
                    12分
∵∴的范围为（2,6）                 14分
（注：以上解答题其他解法相应给分）