Question

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.

Answer 1

（Ⅰ）①②③（Ⅱ）不是等比源函数（Ⅲ）略

解析试题分析：（Ⅰ）①是等比源函数，例：当时，；当时，；当时，。1、4、16成等比。②是等比源函数，例：当时，；当时，；当时，。成等比。③是等比源函数，例：当时，；当时，；当时，。1、2、4成等比数列。（Ⅱ）假设函数是等比源函数，即存在正整数且，使得成等比数列，根据等比中项列出式子，再推理论证得出矛盾。（Ⅲ）根据可推导出为首项为正整数公差也为正整数的等差数列。假设（）整理得当时说明假设成立，即函数值中存在三个不同的数构成等比数列。
试题解析：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.                       3分
（Ⅱ）函数不是等比源函数.                         4分
证明如下：
假设存在正整数且，使得成等比数列，
，整理得，       5分
等式两边同除以得.
因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式不可能成立，
所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.        8分
（Ⅲ）法1：
因为，都有，
所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.
，成等比数列，
因为，
，
所以，
所以，函数都是等比源函数.             13分
（Ⅲ）法2：
因为，都有，
所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，则，
所以