Question

【题目】已知函数

(1)若函数在定义域内单调递增，求实数 的取值范围，

(2)当时，关于的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，

求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，﹣1];(2) ln2﹣2＜b≤﹣

【解析】试题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．

（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．

试题解析：

（1）f′（x）=﹣，（x＞0）

依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．

则a≤=（ ﹣1）2﹣1在x＞0恒成立，

即a≤（（﹣1）2﹣1）min（x＞0）

当x=1时，（﹣1）2﹣1取最小值﹣1，

∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．

（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b，

∴x2﹣x+lnx﹣b=0

设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b（x＞0）则g'（x）=，

列表：

X	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，

又g（4）=2ln2﹣b﹣2

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．

则 ，得：ln2﹣2＜b≤﹣．