Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥底面ABCD，若

EC

=λ

PC

，λ∈（0，1）．
（1）求证：PA⊥DE；
（2）若二面角E-BD-A的余弦值为-

3

3

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）要证PA⊥DE，只证明PA⊥平面PDC，由平面PAD⊥底面ABCD，DC⊥DA可得DC⊥平面PDA，从而可得DC⊥PA，再由PA⊥PD，可得PA⊥平面PDC；
（2）过P点作AD的垂线交AD于点O，连接OB，以O点为坐标原点，OB为x轴正向，OD为y轴正向，OP为z轴正向，建立空间直角坐标系，写出各点坐标并设E（x，y，z），由

EC

=λ

PC

可用λ表示出点E坐标，求出两平面ADB、BDE的法向量，由二面角的余弦值可得法向量夹角的余弦值得关于λ的方程；

解答：（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴DC⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴DC⊥PA，
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC，
又∵DE?平面PDC，
∴PA⊥DE；
（2）过P点作AD的垂线交AD于点O，连接OB，
以O点为坐标原点，OB为x轴正向，OD为y轴正向，OP为z轴正向，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（x，y，z），
∴

PC

=（1，1，-1），

EC

=（1-x，1-y，-z），
由

EC

=λ

PC

，得

1-x=λ 1-y=λ z=λ

，∴E（1-λ，1-λ，λ），
显然，面ABD的一个法向量为

n

=（0，0，1），
设面EBD的法向量为

m

=（x，y，z），
则

BD

=（-1，1，0），

BE

=（-λ，1-λ，λ），
∴

m • BD =0 m • BE =0

，则

-x+y=0 -xλ+y(1-λ)+zλ=0

，

x=1 y=1 z= 2λ-1 λ

，则

m

=(1，1，

2λ-1

λ

)，
由二面角E-BD-A的余弦值为-

3

3

，得|cos＜

m

，

n

＞|=

3

3

，即|

m • n

| m || n |

|=|

2λ-1 λ

1+1+( 2λ-1 λ )2

|=

3

3

，
又λ∈（0，1），∴解得λ=

1

3

；

点评：本题考查空间中直线与直线垂直的判定、二面角的求解，考查学生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力，属中档题．