Question

【题目】已知有限集合，定义如下操作过程：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为；①若，则令；②若，则；这样得到新集合，例如集合经过一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作，……，如此经过次操作后得到的新集合记作，设，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合只有一个元素时，则所有可能的集合为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据定义用运算律证明实施的具体操作过程无关，再根据结果逆推求解.

解：由题可知中仅有一项，令

对于满足的实数定义运算：,

下面证明这种运算满足交换律和结合律.

因为,且,所以,即该运算满足交换律;

因为

且,

所以,即该运算满足结合律;

所以中的项与实施的具体操作过程无关;

选择如下操作过程求：由题可知;

易知;

所以：

易知经过3次操作后剩下一项为,

故答案为：.