Question

已知是等差数列，为公差且不等于，和均为实数，它的前项和记作，设集合，，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．

（Ⅰ）若以集合中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上；

（Ⅱ）至多有一个元素；

（Ⅲ）当时，一定有．

Answer 1

解析：（Ⅰ）正确．

因为，在等差数列中，，所以，．

这表明点的坐标适合方程．

所以，点均在直线上．　　　……………………………………………5分

（Ⅱ）正确．

设，则坐标中的、应是方程组的解．

解这个方程组，消去，得．（）

当时，方程（）无解，此时，．　　　……………………………10分

当时，方程（）只有一个解，

此时方程组也只有一个解，即 

故上述方程组至多有一解，所以至多有一个元素．　　　………………………15分

（Ⅲ）不正确．

取，，对一切，有，．

这时集合中的元素的点的横、纵坐标均为正．

另外，由于，如果，那么根据（Ⅱ）的结论，

至多有一个元素（），而，．

这样的，产生矛盾．所以，，时，，

故时，一定有是不正确的．　　　……………………………………20分