Question

某港口各泊位每天的水深（水面与洋底的距离）f（x）（单位：米）与时间x（单位：小时）的函数关系近似地满足f（x）=Asin（

π

6

x+φ）+B（A，B＞0，0≤φ＜2π）．在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋．该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将于凌晨0点在该泊位开始卸货．已知该泊位当天的最低水深12米，最大水深20米，并在凌晨3点达到最大水深．
（1）求该泊位当天的水深f（x）的解析式；
（2）已知该货船的吃水深度（船底与水面的距离）为12.5米，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1.5米时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域．据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0.1米的速度减少．
（Ⅰ）如果只安排一装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域（精确到小时）？
（Ⅱ）如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断的完成卸货任务？说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为B；通过最大值求出φ，得到函数解析式．
（2）据题意列出不等式，利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式，进而得到结论．

解答：解：（1）由于泊位当天的最低水深12米，最大水深20米，
所以

-A+B=12 A+B=20

，解得

A=4 B=16

故f(x)=4sin(

π

6

x+φ)+16
由于在凌晨3点达到最大水深，则f(3)=4sin(

π

2

+φ)+16=20
故sin(

π

2

+φ)=1，又0≤φ＜2π，∴φ=0
则f(x)=4sin(

π

6

x)+16，x∈[0，24]；
（2）设货船吃水深度以每小时a米的速度减少，则在x时刻货船的吃水深度为（12.5-ax）米．
令g（x）=f（x）-（12.5-ax）-1.5，则g(x)=4sin(

π

6

x)+ax+2
要使货船能在该泊位正常卸货，当且仅当g（x）≥0
（Ⅰ）如果只安排一装卸小队进行卸货，那么a=0.1，g(x)=4sin(

π

6

x)+0.1x+2
当x∈（0，7]时，因为4sin(

π

6

x)≥4sin(

7π

6

)=-2，所以g（x）≥-2+0.1x+2＞0，
又由g(8)=4sin(

8π

6

)+0.8+2=-2

3

+2.8＜0
所以该船必须在上午7点停止卸货，并将船驶向较深的水域；
（Ⅱ）安排三个这样的装卸小队同时卸货，能按要求完成卸货任务
此时，a=0.3，g(x)=4sin(

π

6

x)+0.3x+2
因为泊位的水深f(x)=4sin(

π

6

x)+16，x∈[0，24]在当天上午9点达到最小水深．
所以要连续不间断的完成卸货任务当且仅当在x∈[0，9]时正常卸货．
当x∈（0，7]时，因为4sin(

π

6

x)≥4sin(

7π

6

)=-2，所以g（x）≥-2+0.3x+2＞0，
当x∈[0，7]时，因为4sin(

π

6

x)≥-4，0.3x+2≥0.3×7+2=4.1，所以g（x）≥0.1＞0，
综上，对任意的x＞0，g（x）＞0恒成立，
即安排三个这样的装卸小队同时卸货，能按要求完成卸货任务．

点评：本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．