Question

【题目】设函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，x＞0时f（x）=x﹣ ，求x＜0时f（x）的表达式，判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义给出证明．

Answer 1

【答案】解：∵函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
x＞0时f（x）=x﹣ ，
∴x＜0时，f（x）=（﹣x）﹣ =﹣x+ ，
f（x）在（﹣∞，0）上的单调递减，证明如下：
在（﹣∞，0）上任取x1 ， x2 ， 令x1＜x2 ，
则f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+ ）﹣（﹣x2+ ）=（x2﹣x1）+ =（x2﹣x1）（1﹣ ），
∵x1 ， x2∈（﹣∞，0），x1＜x2 ，
∴f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1﹣ ）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上的单调递减
【解析】由已知得x＜0时，f（x）=（﹣x）﹣ =﹣x+ ，f（x）在（﹣∞，0）上的单调递减，利用定义法能进行证明．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．