Question

已知如图，圆C的圆心在抛物线x²=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．
设AM=l₁，AN=l₂，求

l1

l2

+

l2

l1

的取值范围．

Answer 1

分析：设∠MAN=θ，由题意知l1l2=

2p2

sinθ

，l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

1

tanθ

)．所以

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

4p2(1+ 1 tanθ )sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

2

sin(θ+45°)．由此可知当且仅当θ=45°时，原式有最大值2

2

，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，从而

l1

l2

+

l2

l1

的取值范围．

解答：解：设∠MAN=θ，
因为S△MAN=

1

2

l1•l2•sinθ=

1

2

OA•MN=p2，
所以l1l2=

2p2

sinθ

，因为l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4p²，
所以l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

1

tanθ

)．
所以

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

4p2(1+ 1 tanθ )sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

2

sin(θ+45°)．
因为0＜θ≤90⁰，所以当且仅当θ=45°时，原式有最大值2

2

，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，从而

l1

l2

+

l2

l1

的取值范围为[2，2

2

]．

点评：本题考查圆锥曲线的位置关系和应用，解题时要认真审题和仔细解答．