Question

【题目】已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若， ，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.

试题解析：（Ⅰ）由题意有： ，且，

所以， .

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,

将代人得点坐标为，

由，消元得，

设， ，则且，

方法一：因为，所以.

同理，且与异号，

所以

.

所以， 为定值.

方法二：由题意，当时， （若：不妨设，加一分）

有，且，

所以，且

所以，同理.

从而

.

当时，同理可得.

所以， 为定值.

方法三：由题意直线过点，设方程为 ，

将代人得点坐标为，　　　

由 消元得，

设， ，则且，

因为，所以.　

同理，且与异号，

所以　

　　　　　　　　 　.

又当直线与轴重合时， ，

所以， 为定值.