Question

如图所示高脚杯的轴截面是方程为x²=2py（p＞0）的抛物线，现放一半径为r小球到高脚杯中，若小球能落到杯子底部，则小球的半径r的取值范围为

0＜r≤p

．

Answer 1

分析：设小球圆心（0，r），抛物线上点（x，y），求得点到球心距离r平方的表达式，进而根据r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，由此可得r的范围．

解答：解：设小球圆心（0，r），抛物线上点（x，y）
则点（x，y）到圆心距离平方为：r²=x²+（y-r）²=2py+（y-r）²=y²+2（p-r）y+r²
若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以p-r≥0，所以r≤p，
所以0＜r≤p，
故答案为：0＜r≤p．

点评：本题考查抛物线的应用、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．