Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.

（1）求的解析式及单调递减区间；

（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为和；（2）存在常数满足题意.

【解析】

试题分析：（1）求导可得当或时和；

（2）原命题化为.①当时，原命题化为，再利用导数工具可得.②当时，原命题化为恒成立，再利用导数工具可得，即存在常数满足题意.

试题解析：（1），又由题意有：，故.此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.（2）要恒成立，即.①当时，，则要：恒成立，令，再令，所以在内递减，所以当时，，故，所以在内递增，.②当时，，则要：恒成立，由①可知，当时，，所以在内递增，

所以当时，，故，所以在内递增，.综合①②可得：，即存在常数满足题意.