Question

【题目】如图．设椭圆C： （a＞b＞0）的离心率e= ，椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=1与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的动点，若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4，

∴2a=4，即a=2，

又∵离心率e= ，

∴ = ，即b2=3，

∴椭圆C的方程为： ；

（2）解：依题意， ，解得：yP= ，

设T（1，t），则﹣ ＜t＜ ，

∵过点T的直线AB的斜率为 ，

∴直线AB方程为：x﹣2y+2t﹣1=0，

∴点P到直线AB的距离dP= = ，

点Q到直线AB的距离dQ= = ，

联立直线AB与椭圆方程，消去x整理得：

16y2﹣12（2t﹣1）y+12t2﹣12t﹣9=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ，

∴ =

= ﹣4

= ，

∴|AB|2= + =5 ，

∴S四边形APBQ= |AB|（dP+dQ）

= （ + ）

= ，

记f（t）=﹣4t2+4t+15=﹣4 +16，

则当t= 时，f（t）取最大值16，此时S四边形APBQ取最大值，

∴四边形APBQ面积取最大值 = ．

【解析】（1）通过椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4、利用椭圆定义可知a=2，通过离心率e= 可知b2=3，进而可得结论；（2）由（1）可知yP= ，通过设T（1，t）（﹣ ＜t＜ ），利用过点T的直线AB的斜率为 可知直线AB方程为x﹣2y+2t﹣1=0，进而可知点P到直线AB的距离dP= 、点Q到直线AB的距离dQ= ，通过联立直线AB与椭圆方程、利用韦达定理及两点间距离公式可知|AB|2=5 ，利用S四边形APBQ= |AB|（dP+dQ）计算可知S四边形APBQ= ，通过配方可知f（t）=﹣4t2+4t+15在t= 时取最大值16，进而可得结论．