Question

如图，直线与抛物线（常数）相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的切线的切点为（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．

（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
（2）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．

Answer 1

（1），，（2），（3）能.

试题分析：（1）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由，得，，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由,得，得.由于、的横坐标相同，垂直于轴．（2）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则为高，利用（1）求出，则，（3）对题目“马上”的理解，就是进行类比，直接写出结论. 由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得．而这一过程可无限类比下去,依次得到一列数：，，这些数构成一个公比为无穷等比数列，其和可看成直线与抛物线围成的面积，即
试题解析：（1）由，得，
点          2分
设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得    4分
由于、的横坐标相同，垂直于轴．        6分
（2），．   8分
．        11分
的面积与、无关，只与有关．      12分
（本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）
（3）由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得．  14分
记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为．