Question

【题目】设f（x）=xex（e为自然对数的底数），g（x）=（x+1）2 ．
（Ⅰ）记 ，讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函数G（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设F（x）= = ，（x≠﹣1），

F′（x）= = ，

∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，F′（x）＜0，当x∈（﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，

∴F（x）在（﹣∞，﹣1）是减函数，在（﹣1，+∞）是增函数；

（Ⅱ）G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2，

G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），

当a=0时，G（x）=（x+1）2，有唯一零点：﹣1，

当a＞0时，aex+2＞0，则x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减，

当x∈（﹣1，+∞），G′（x）＞0，G（x）单调递增，

G（x）极小值=G（﹣1）=﹣ ＜0，由G（0）=1＞0，

∴当x∈（﹣1，+∞），G（x）有唯一的零点，

当x＜﹣1时，ax＜0，则ex＜ ，axex＞ ，

∴G（x）＞ +（x+1）2=x2+（2+ ）x+1，

由△=（2+ ）2﹣4×1×1= +（ ）2＞0，

∴t1，t2，且t1＜t2，当x∈（﹣∞，t1）（t2，+∞）使得x2+（2+ ）x+1＞0，

取x0∈（﹣∞，﹣1）∩（﹣∞，t1），则G（x0）＞0，

从而x∈（﹣∞，﹣1）时，G（x）有唯一零点，

即a＞0时，函数G（x）有2个零点；

③a＜0时，G′（x）=a（x+1）（ex+ ），

由G′（x）=0，解得：x=﹣1或ln（﹣ ），

若﹣1=ln（﹣ ），即a=﹣2e时，G′（x）=﹣2e（x+1）（ex﹣ ）≤0，

故G（x）递减，至多有1个零点；

若﹣1＞ln（﹣ ），即a＜﹣2e时，G′（x）=a（x+1）（ex+ ），

注意到y=x+1，y=ex+ 都是增函数，

故x∈（﹣∞，ln（﹣ ））时，G′（x）＜0，G（x）递减，

x∈（ln（﹣ ），﹣1）时，G′（x）＞0，G（x）递增，

x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，

又∵G（x）极小值=G（ln（﹣ ））=ln2（﹣ ）+1＞0，

故G（x）至多1个零点；

若﹣1＜ln（﹣ ），即﹣2e＜a＜0时，同理得x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）递减，

x∈（﹣1，ln（﹣ ））时，G′（x）＞0，G（x）递增，

x∈（ln（﹣ ），+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，

又∵G（x）极小值=G（﹣1）=﹣ ＞0，

∴G（x）至多1个零点，

综上，若函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞）

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出G（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数G（x）的极小值，结合函数的零点确定a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．