Question

直线过点（0，2），且被圆x²+y²=4截得的弦长为2，则此直线的斜率是（　　）

• A、±

  3

  2

• B、±

  3

  3

• C、±

  2

• D、±

  3

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，根据垂径定理得到C为弦AB的中点，由|AB|长的一半求出|AC|的长，设出直线AB的斜率为k，由A的坐标和k表示出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式表示出O到直线AB的距离，即为|OC|的长，在直角三角形OAB中，根据勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：根据题意画出图形，过O作OC⊥AB，则C为弦AB的中点，
∴|AC|=

1

2

|AB|=1，
设所求直线AB的斜率为k，又直线过点A（0，2），即|OA|=2，
∴直线AB的方程为：y-2=kx，即kx-y+2=0，
则圆心O（0，0）到直线的距离|OC|=

2

1+k2

，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：2²=1²+

4

1+k2

，
整理得：k²=

1

3

，解得k=±

3

3

，
则直线AB的斜率为±

3

3

．
故选B

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，用到的知识有垂径定理，勾股定理，以及点到直线的距离公式，当直线与圆位置关系是相交时，常常过圆心作出弦心距，利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．