Question

如图，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）为证AC⊥平面BB₁C₁C，须证AC垂直面内两条相交直线：BB₁和BC即可．前者易证，后者利用计算方法证明即可．
（2）设P为A₁B₁的中点，证明DCB₁P为平行四边形，即可证明存在点P，满足题意．
解答：证明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC．（2分）
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴，∠CAB=45°，∴，∴BC⊥AC．（4分）
又BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面BB₁C₁C，∴AC⊥平面BB₁C₁C．（7分）

（2）存在点P，P为A₁B₁的中点．（8分）
证明：由P为A₁B₁的中点，有PB₁‖AB，且PB₁=AB．（10分）
又∵DC‖AB，DC=AB，∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P为平行四边形，从而CB₁∥DP．
又CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，∴DP‖面ACB₁．（12分）
同理，DP‖面BCB₁．（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力．