Question

已知函数y=f(x)的图象过点（－2，－3），且满足f(x-2)=ax²-(a-3)x+(a-2)，设g(x)=f［f(x)］,F(x)=pg(x)-4f(x).

（1）求 f(x)的表达式；

（2）是否存在正实数p，使 F(x)在（-∞,f(2))上是增函数，在 (f(2),0)上是减函数？若存在，求出p；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解;（1）令x-2=t，则x=2+t,∴f(t)=a(2+t)²-(a-3)(2+t)+(a-2)，

∵f(-2)=-3,∴a-2=-3,∴a=-1.

∴f(t)=-(2+t)²+4(2+t)-3=-t²+1,即f(x)=-x²+1.

（2）g(x)=f［f(x)］=f(-x²+1)=-(-x²+1)²+1=-x⁴+2x².

F(x)=pg(x)-4f(x)=p(-x⁴+2x²)-4(-x²+1)=-px⁴+(2p+4)x²-4,

F′(x)=-4px³+4(p+2)x=-4x(px²-p-2).

∵f(2)=-3,假设存在正实数p，使 F(x)在(-∞,-3)上是增函数，在（－3，0）上是减函数,

∴F′(-3)=0，解得 p=.

当p=时，F′(x)=-x³+9x=x(3-x)(3+x)

当x＜-3时，F′(x)＞0，

∴F（x）在（-∞,-3）上是增函数.

当-3＜x＜0时，F′(x)＜0，

∴F(x)在（-3，0）上是减函数

∴存在正实数p=，使得F（x）在（-∞，-3）上是增函数，在（－3，0）上是减函数.