Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx²+4y²=1的右焦点，且椭圆的离心率为

2

2

．
（Ⅰ）试求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在y轴上截距为2的直线l与抛物线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别交抛物线C上半支和y轴正半轴于A，B两点，直线AB与x轴交于点Q，试用A点的横坐标x₀表示点Q的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆mx²+4y²=1的离心率为

2

2

，
∴

1 m - 1 4

1 m

=

1

2

，∴m=2
∴2x²+4y²=1的右焦点坐标为（

1

2

，0）
∵抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx²+4y²=1的右焦点，
∴抛物线C的方程为y²=2x；
（Ⅱ）由题意，设l的方程为y=kx+2，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线方程代入抛物线方程可得k²x²+（4k-2）x+4=0，则x₁+x₂=-

4k-2

k2

，x₁x₂=

4

k2

∴y₁y₂=8-

8k-4

k

∵以线段MN为直径的圆过原点，∴

OM

•

ON

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

4

k2

+8-

8k-4

k

=0
∴k=-1
∴l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0；
（Ⅲ）设圆的方程为x²+y²=t，与抛物线方程联立，可得x²+2x-t=0
设A（x0，

2x0

），则t=x₀²+2x₀，B（0，x₀²+2x₀）
∴直线AB的方程为y-（x₀²+2x₀）=

2 x0 -(x02+2x0)

x0

（x-0）
令y=0，则x=

x03+2x02

x02+2x0-2 x0

．
∴Q（

x03+2x02

x02+2x0-2 x0

，0）