Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）设定义在上的函数在点处的切线方程为：，当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出转点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时，函数取到极大值为，当时，函数取到极小值为-2.

（2）函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.

【解析】试题分析：（1）先求导,令导数大于0得增区间,令导数小于0得减区间,根据单调性求最值. （2）求导,根据导数的几何意义得点处切线的斜率,根据点斜式得切线方程,从而可得的解析式,因为是函数图像和切线的交点,则.将函数求导,用导数求其单调性,讨论的取值范围判断是否恒成立.

试题解析：解：（1）当时，

当，当，

所以函数在和单调递增，在单调递减，

所以当时，函数取到极大值为，

当时，函数取到极小值为-2. 6分

（2）当时，函数在其图像上一点处的切线方程为

8分

设

且

当时，在上单调递减，

所以当时，；

当时，在上单调递减，

所以当时，；

所以在不存在“转点” 11分

当时，，即在上是增函数.

当时，当时，即点为“转点”.

故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. 12分