Question

（2012•安徽模拟）已知函数f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)．
（I）若a=2，且f(x)=-

3 2 -2

2

，求x的值；
（II）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）把a=2代入方程f(x)=-

3 2 -2

2

，再将其转化为指数方程，根据指数函数的性质解指数方程即可．
（II）根据题意求出函数的定义域是R，再由f（x）=-f（-x）列出方程，整理后利用对应项的系数相等，求出a的值．
（III）假设存在对称中心，设其坐标为（h，k），则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，将函数的解析式代入其中化简求出h，k的值，因而满足条件的实数h，k存在，即存在对称中心．

解答：解：（I）若a=2，则f(x)=

2×2x-1

1+2x

=

2×(2x+1)-3

1+2x

=2-

3

1+2x

≥2-

3

1

=-1，
由于-

3 2 -2

2

＜-1，故方程由f(x)=

2×2x-1

1+2x

=-

3 2 -2

2

无实数解．
（II）由题意知，函数的定义域是R，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
即

a×2x-1

1+2x

=-

a×2-x-1

1+2-x

，即

a×2x-1

1+2x

=-

a-2x

1+2x

，
解得a=1．
（III）当a=5时，f(x)=

5×2x-1

1+2x

．
假设函数f（x）的图象是否存在对称中心，设其坐标为（h，k），
则对任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即

5×2x+h-1

1+2x+h

+

5×2h-x-1

1+2h-x

=2k，
整理得，

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，
解得

h=0 k=2

，
当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，其对称中心为（0，2）．

点评：本题的考点是利用函数奇偶性求值，即利用奇（偶）函数的定义列出方程，化简后由对应项的系数相等求出参数的值，以及对称性问题的处理方法，注意题目中所应用的函数的思想，属于基础题．