Question

若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则

1

m

+

1

n

的取值范围（　　）

• A、(

  7

  2

  ，+∞)
• B、（1，+∞）
• C、（4，+∞）
• D、(

  9

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．

解答：解：函数f（x）=a^x+x-4的零点是函数y=a^x与函数y=4-x图象交点A的横坐标，
函数g（x）=log_ax+x-4的零点是函数y=log_ax与函数y=4-x图象交点B的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
直线y=4-x与直线y=x垂直，
故直线y=4-x与直线y=x的交点（2，2）即是A，B的中点，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

1

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

1

n

)=

1

4

(2+

m

n

+

n

m

)≥1，
当m=n=2等号成立，
而m+n=4，
故

1

m

+

1

n

＞1，
故所求的取值范围是（1，+∞）．
故选B．

点评：本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．