Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，证明：

1

5

≤T_n＜

1

4

；
（3）是否存在自然数n，使得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2011？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到关于a_n与a_n-1的递推式，据递推式的特点可判断数列为等差数列，从而可得答案；
（2）利用裂项相消法即可求得T_n的表达式，由表达式的特点及其单调性可证；
（3）由（1）可表示出

Sn

n

，进而求得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²，令其等于2011，看关于正整数n的方程是否有解即可；

解答：（1）证明：由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列．
于是，a_n=4n-3，S_n═2n²-n（n∈N^*）．
（2）证明：∵

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]=

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

，
又易知T_n单调递增，
故T_n≥T₁=

1

a1a2

=

1

5

，
所以

1

5

≤T_n＜

1

4

．
（3）解：由S_n=na_n-2n（n-1），得

Sn

n

=a_n-2（n-1）=2n-1（n∈N^*），
∴S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²
=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2011，得n═1006，
即存在满足条件的自然数n=1006．

点评：本题考查数列的递推公式、等差数列的确定及数列与不等式的综合，考查数列求和方法，考查学生分析问题解决问题的能力，属难题，具有一定综合性．