Question

如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M，N分别在PA，BD上，且

PM

PA

=

BN

BD

=

1

3

．
（Ⅰ）求异面直线MN与AD所成角；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PBC；
（Ⅲ）求MN与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：题干错误：

PM

PA

=

BM

BD

=

1

3

，应该是：

PM

PA

=

BN

BD

=

1

3

，请给修改，谢谢

（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．如图所示，建立空间直角坐标系，求得A、B、C、D的坐标．求得 

OM

=

OA

+

AM

=

OA

+

2

3

AP

、

ON

=

1

3

OB

的
坐标，可得 

AN

和

AD

的坐标，根据 

MN

•

AD

=0，可得异面直线MN与AD所成角的值．
（Ⅱ）设平面PBC的法向量为

n

=（a，b，c），由

n

•

BP

=0，

n

•

BC

=0，求得

n

的坐标，根据

n

•

MN

=0，证得MN∥平面PBC．
（Ⅲ）设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），由

AP

•

n

=0

n

•

AB

=0 求得

n

=（

2

，0，1），计算cos＜

MN

n

＞的值，可得MN与平面PAB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，

DA

，

AB

方向分别是x轴、y轴正方向，
建立空间直角坐标系O-xyz．
则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），…（2分）
设P（0，0，p），则

AP

=（-1，1，p），又AP=2，∴1+1+p²=4，∴p=

2

，
∵

OM

=

OA

+

AM

=

OA

+

2

3

AP

=（

1

3

，-

1

3

，

2 2

3

），

ON

=

1

3

OB

=（

1

3

，

1

3

，0），
∴

AN

=（0，

2

3

，-

2 2

3

 ），

AD

=（-2，0，0），
∵

MN

•

AD

=0，∴异面直线MN与AD所成角为90°．…（8分）
（Ⅱ）∵

BP

=（-1，-1，

2

），
设平面PBC的法向量为

n

=（a，b，c），∵

n

•

BP

=0，

n

•

BC

=0，则

-a-b+ 2 c=0 a=0

，…（10分）
取

n

=（0

2

 1）=，∵

n

•

MN

，∴MN∥平面PBC． …（14分）
（Ⅲ）设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），

AP

=（-1，1，

2

）

AB

=（0，2，0）
由

AP

⊥

n

 

AB

⊥

n

，
∴

AP

•

n

=0 

n

•

AB

=0  则

-x+y- 2 z=0 2y=0

，…（16分）
取

n

=（

2

，0，1），cos＜

MN

 

n

＞=

- 2 2 3

3 • 4 3

=-

2

3

，
∴MN与平面PAB所成角的正弦值是

2

3

．…（20分）

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，直线和平面垂直的判定定理的应用，直线和平面所成的角的定义和求法，两个向量垂直的性质和条件，
两个向量坐标形式的运算，属于中档题．