Question

【题目】已知函数。

（1）若，试判断的零点的个数。

（2）若恒成立，求的取值范围。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）若，对函数求导，根据导函数的正负，可得函数的单调性，从而可判断的零点的个数；（2）法一： 恒成立等价于恒成立，令，设，则，再令，利用导数研究的单调性，从而可得到的单调性，即可求得的取值范围；法二：构造令，得到，令，利用导数研究的单调性，即可得的最小值，从而可得的取值范围.

试题解析：（1）若， ， .

∴当， ， 单调递减；当， ， 单调递增.

∴.

∴函数的零点个数为0　　　

（2）若，变形得到： .

法一：令，得到.

设，则.

令，则，可得在上单调递增，在上单调递减.

∴，则.

∴在上单调递减

当， ，则.

∴.

法二：令，得到，

令，则， ，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，即在上单调递增

∴当时， ，即，

∴