Question

（2008•武汉模拟）已知函数和函数f（x）=ax³-x²+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的导数为：f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2），由条件a＞0得到不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），所以函数f（x）的单调递减区间是（0，

2

3a

）；
（2）有关三次多项式的零点问题，可以转化为函数的极大值和极小值与0比较大小的问题．方程f（x）=0有三个不同的解，即可转化为[f（x）]_极大•[f（x）]_极小＜0，由此不难得出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=ax³-x²+1的导数为：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=

2

3a

＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），
∴当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间是（0，

2

3a

）
（2）当a＞0时，由（1）可得函数f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（

2

3a

，+∞）上为增函数，
在（0，

2

3a

）上为减函数，而方程f（x）=0有三个不同的解
∴f（0）＞0且f(

2

3a

) ＜0，解之得a∈(0，

2 3

9

)
同理，得到当a＜0时，使方程f（x）=0有三个不同的解的a∈(-

2 3

9

，0)
综上所述，得到符合题意的a的取值范围是：a∈(-

2 3

9

，0)∪(0，

2 3

9

)

点评：本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性和三次多项式函数的零点问题，属于中档题．