Question

已知数列{a_n}对任意n∈N^*都有an+1=an+2n，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃和a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由an+1=an+2n，且a₁=1．分别取n=1，2，3即可得出．
（2）方法一：由（1）猜想an=2n-1．再利用数学归纳法证明即可；
方法2：由an+1=an+2n，可得an+1-an=2n，然后再利用“累加求和”即可得出．

解答：解：（1）∵an+1=an+2n且a₁=1，
∴a2=a1+21=1+2=3，
a3=a2+22=3+4=7，
a4=a3+23=7+8=15．
（2）方法一：由（1）猜想an=2n-1
用数学归纳法证明：
①当n=1时，结论明显成立．
②假设当n=k时，ak=2k-1成立．
那么当n=k+1，ak+1=ak+2k=2k-1+2k=2•2k-1=2k+1-1
命题也成立．
∴对一切n∈N^*，an=2n-1．
方法2：由an+1=an+2n
有an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2
…a2-a1=21
将以上各式相加，得到a_n-1=2+22+…+2n-1=

2-2n

1-2

=2n-2，
∴an=2n-1．

点评：本题考查了递推公式的意义、数学归纳法方、“累加求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．