Question

【题目】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，

（1）求证：BE=2AD；
（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DE，

∵ACED是圆的内接四边形，

∴∠BDE=∠BCA，

∵∠DBE=∠CBA，

∴△BDE∽△BCA，

∴ ，

∵AB=2AC，

∴BE=2DE．

∵CD是∠ACB的平分线，

∴AD=DE，

从而BE=2AD

（2）解：由条件得AB=2AC=2，

设AD=t，根据割线定理得

BDBA=BEBC，

∴（AB﹣AD）BA=2ADBC，

∴（2﹣t）×2=2t2，

解得t= ，即AD=

【解析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（AB﹣AD）BA=2AD（2AD+CE），由此能求出AD．