Question

【题目】已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令 ，写出Tn关于n的表达式，并求满足Tn＞ 时n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1+2a2+3a3+…+nan=n，

可得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=n﹣1（n＞1），

相减可得nan=1，即有an= ，（n＞1），

当n=1时，a1=1，上式也成立，

可得an= ，（n∈N*）；

（2）解：由 ，

结合（1）可得，bn=（2n﹣1）（ ）n，

前n项和Tn=1 +3（ ）2+…+（2n﹣3）（ ）n﹣1+（2n﹣1）（ ）n，

Tn=1（ ）2+3（ ）3+…+（2n﹣3）（ ）n+（2n﹣1）（ ）n+1，

相减可得， Tn= +2[（ ）2+…+（ ）n﹣1+（ ）n]﹣（2n﹣1）（ ）n+1

= +2 ﹣（2n﹣1）（ ）n+1，

化简可得，前n项和Tn=3﹣ ．

由Tn﹣Tn﹣1=3﹣ ﹣（3﹣ ）= ，

当n≥2时，Tn＞Tn﹣1，可得数列{Tn}递增，

由T4=3﹣ = ＜ ；T5=3﹣ = ＞ ．

即有n≥5时，Tn≥T5＞ ．

故n的取值范围是n≥5，且n∈N*

【解析】（1）由条件，可将n换为n﹣1，相减，即可得到所求通项公式；（2）求得bn=（2n﹣1）（ ）n ， 由数列的求和方法：错位相减法，运用等比数列的求和公式，计算可得Tn ， 判断单调性，求得T4 ， T5 ， 即可得到所求n的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．