Question

一水渠的横截面如图甲所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2米，渠OC深为1.5米，水面EF距AB为0.5米．

　　(1)求截面图中水面宽度；

　　(2)如果把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？

 

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)建立直角坐标系，易求得抛物线方程为 　　x2=，∴　水面宽EF=米 　　(2)如图13-4乙所示，设抛物线上一点M(t，)(t＞0)，因改造后水渠只准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土． 　　由y=x2-，求导得y′=3x 　　所以过点M的切线斜率为3t 　　切线方程为y-()=3t(x-t) 　　令y=0，则x1=，令y=-，则x2= 　　故截面梯形面积为 　　S=(2x1+2x2)·=(+t)≥ 　　当且仅当t=时所挖土最少，此时下底宽为．