Question

已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

Answer 1

（1）；（2）。

解析试题分析：（1）依题意，设椭圆的方程为．
构成等差数列，
， ．
又，．
椭圆的方程为． 4分 
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．                5分
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：．                           7分
设，，    9分

（法一）当时，设直线的倾斜角为，
则，
，       
，11分
，当时，，，．
当时，四边形是矩形，．   13分
所以四边形面积的最大值为．    14分
（法二），
．
．
四边形的面积，  11分                      
                                                 ．   13分
当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为．     14分
考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的定义；直线与椭圆的综合应用；基本不等式。
点评：（1）本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知
识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想．（2）做此题的关键是表示出四边形的面