Question

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点 
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=

11

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设AB：x=my+

p

2

，代入y²=2px，利用根与系数的关系即可得出；
（2）设线段AB的中点坐标为M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．再利用（1）的结论即可得出．
（3）利用（1）的距离即可得到p，即抛物线的方程，进而得到点A，B的坐标．设所求曲线方程为mx²+ny²=1，把点A，B的坐标代入即可得出．
（4）当y₁=-2

2

时，由①②可得

x3+x4=x1+x2 3(x4-x3)=x2-x1

即可解得x₄，可得点D的坐标，设P（0，t）由c²=

52

5

（c为曲线C₂的半焦距），可知，-

52 5

≤t≤

52 5

，由|PD|=

11

求得t．当y₁=-2

2

时，同理可得．

解答：解：（1）设AB：x=my+

p

2

，代入y²=2px得：
y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∵2p（x₁+x₂-p）=2px₁+2px₂-2p²=y₁²+y₂²-2p²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂-2p²
=（y₁+y₂）²+2p²-2p²=（y₁+y₂）²
∴（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）．
（2）设线段AB的中点坐标为M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
∴4y²=2p（2x-p）
即中点的轨迹方程为y²=px-

1

2

p2．
（3）由（1）可得，x₁x₂=

p2

4

=4，∴p=4 曲线  C1：y2=8x
∴A（1，-2

2

），B（4，4

2

）或A（1，2

2

），B（4，-4

2

）
设所求曲线方程为mx²+ny²=1，则

m+8n=1 16m+32n=1

解得　　

m=- 1 4 n= 5 32

∴曲线C₂：

5

32

y2-

1

4

x2=1．
（4）由（3）可知：y1=±2

2

①当y₁=-2

2

时，由①②可得

x3+x4=x1+x2 3(x4-x3)=x2-x1

解得

x3=2 x4=3

此时D（3，2

2

），
设P（0，t）由c²=

52

5

（c为曲线C₂的半焦距），
可知，-

52 5

≤t≤

52 5

，
由PD=

11

求得t₁=

2

，t₂=3

2

（舍去）
∴存在点P（0，

2

）
②当y₁=2

2

时，同理解出点P（0，-

2

）．

点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点的坐标公式、三角形的面积计算公式、分类讨论的思想方法等是解题的关键．