Question

偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），若x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

解：（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（1）=0；
（2）令y=，代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（）=0，即f（）=-f（x）；
∵x＞1时，f（x）＞0，令0＜x₁＜x₂，＞1，
∴f（）=f（x₂•）=f（x₂）+f（）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）∵偶函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（4）=1，
∵f（3x+1）≤2=f（4）+f（4）=f（16），
∴|3x+1|≤16（x≠0），
∴-≤x＜0或0＜x≤5．
∴所求不等式的解集为：{x|-≤x＜0或0＜x≤5}．
分析：（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求得f（1）的值；
（2）可令y=，代入f（xy）=f（x）+f（y），得到f（x）+f（）=0．再利用函数单调性的定义判断即可；
（3）利用偶函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（4）=1，将不等式f（3x+1）≤2转化为|3x+1|≤16（x≠0），解之即可．
点评：本题考查抽象函数及其用，着重考查函数的单调性，奇偶性及解绝对值不等式，突出考出化归思想与综合分析与应用的能力，属于难题．