Question

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为的正方形，AA₁＝，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图，设AC∩BD＝O，连结B1O，交EF于点M． 　　∵AE＝EB1，CF＝FB1， 　　∴EFAC，且M为OB1的中点． 　　又∵AB1＝CB1，O是AC的中点， 　　∴B1O⊥AC． 　　∵EF∥AC，∴B1O⊥EF． 　　在Rt△B1OB中， 　　B1O＝ 　　∴B1M＝B1O＝1． 　　∵四边形D1DBB1为平行四边形，D1B1∥DB， 　　∴∠D1B1O＝∠BOB1． 　　∵B1D1＝2＝B1O，B1M＝OB＝1，且∠D1B1M＝∠BOB1，∴△D1B1M≌△B1OB 　　∴∠D1MB1＝∠B1BO． 　　∵∠B1BO＝90°， 　　∴∠D1MB1＝90°． 　　∴B1M⊥D1M，即B1O⊥D1M． 　　∵B1O⊥EF，D1M∩EF＝M， 　　∴B1O⊥平面D1EF． 　　∵B1O平面AB1C， 　　∴平面D1EF⊥平面AB1C 　　思路分析：此题中B1O⊥EF较易得到，而证B1O⊥D1M则通过了较复杂数据的关系及三角形知识才能完成．平时做题经常会遇到此类情况

提示：

要证两平面垂直，最常用的办法是证一个平面内的一条直线垂直于另一平面，而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线．要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化．